數控編程中非圓曲線的數學處理

非圓曲線包括除圓以外的各種可以用方程描述的圓錐二次曲線(如：拋物線、橢圓、雙曲線)、阿基米德螺線、對數螺旋線及各種參數方程、極坐標方程所描述的平面曲線與列表曲線等等。數控銑床在加工上述各種曲線平面輪廓時，一般都不能直接進行編程，而必須經過數學處理以后，以直線一圓弧逼近的方法來實現。但這一工作一般都比較復雜，有時靠手工處理已經不大可能，必須借助計算機作輔助處理，最好是采用計算機自動編程高級語言來編制加工程序。

處理用數學方程描述的平面非圓曲線輪廓圖形，常采用相互連接的弦線逼近和圓弧逼近方法，下面將分別進行介紹。

（1）弦線逼近法  一般來說，由于弦線法的插補節點均在曲線輪廓上，容易計算，程編也簡便一些，所以常用弦線法來逼近非圓曲線，其缺點是插補誤差較大，但只要處理得當還是可以滿足加工需要的，關鍵在于插補段長度及插補誤差控制。由于各種曲線上各點的曲率不同，如果要使各插補段長度均相等，則各段插補的誤差大小不同。反之，如要使各段插補誤差相同，則各插補段長度不等。下面是常用的兩種處理方法。

 1）等插補段法

等插補段法是使每個插補段長度相等，因而插補誤差補等。編程時必須使產生的最大插補誤差小于允差的1/2～1/3，以滿足加工精度要求。一般都假設最大誤差產生在曲線的曲率半徑最小處，并沿曲線的法線方向計算，見圖所示。這一假設雖然不夠嚴格，但數控加工實踐表明，對大多數情況是適用的。

2)等插補誤差法

等插補誤差法是使各插補斷的誤差相等，并小于或等于允許的插補誤差，這種確定插補段長度的方法稱為“等插補誤差法”。顯然，按此法確定的各插補段長度是不等的，因此又叫“變步長法”。這種方法的優點是插補段數目比上述的“等插補段法”少。這對于一些大型和形狀復雜的非圓曲線零件有較大意義。

 對于曲率變化較大的曲線，用此法求得的節點數最少，但計算稍繁。

(2)圓弧逼近法

曲線的圓弧逼近有曲率圓法、三點圓法和相切圓法等方法。三點圓法是通過已知的三個節點求圓，并作為一個圓程序段。相切圓法是通過已知的四個節點分別作兩個相切的圓，編出兩個圓弧程序段。這兩種方法都必須先用直線逼近方法求出各節點，再求出各圓，計算較繁瑣。

上面講述的幾種逼近計算中，只是計算了曲線輪廓的逼近線段或逼近圓弧段，還需應用等距線或等距圓的數學方法計算刀具中心的各節點坐標，作為編程數據。