一種高精度的圓分度測量原理

1．引言

　　在圓分度測量系統中，目前多采用平均讀數原理來提高測量精度，其基本方法是通過在度盤圓周上均布多個讀數頭，利用平均讀數有規律地消除讀數中的部分諧波誤差。但這種方法存在一定局限性，一是讀數中仍然殘留讀數頭個數整數倍的讀數諧波誤差，使測量精度難以進一步提高（尤其當讀數頭個數較少時）；二是應用平均讀數原理提高圓分度測量系統精度必須建立在多個讀數頭的特性完全一致的前提下，這就必然增加圓分度測量系統的制造難度和制造成本（尤其當讀數頭個數較多時）。

　　本文提出一種可有效提高圓分度測量系統精度的新的測量原理。實際測量證明，應用本原理的圓分度測量系統精度高于采用平均讀數原理的圓分度測量系統，同時還具有測量系統結構簡單、測量易于實現等優點。

　　2．基本原理

　　應用本測量原理的圓分度測量系統如圖1所示。被測度盤2與標準度盤1同軸安裝，它們可繞共同的回轉中心O作同步轉動或相對轉動，讀數頭3、4分別對標準度盤進行細分讀數，瞄準顯微鏡5實現對被測度盤的瞄準。測量時，首先相對移動兩度盤，使瞄準顯微鏡瞄準被測度盤的“0”刻線時讀數4的讀數為0，并設定此時主軸回轉角度為0。當主軸回轉角度為θ時，瞄準顯微鏡瞄準被測度盤的θ_i刻線，讀數頭4、3的讀數分別為a_i，b_i，在圓周上測得N組數據（θ_i，a_i，b_i）（i＝0，1，2，…，N-1）。

1．標準度盤　2．被測度盤　

3，4．讀數頭　5．瞄準顯微鏡

圖

　　圓分度測量系統存在三種主要誤差：標準度盤的刻劃誤差、主軸晃動誤差和度盤的安裝偏心誤差，它們均會引起讀數頭的讀數誤差，所以讀數頭3、4的讀數中實際包含了被測度盤的刻劃誤差Δ_i和上述三種主要誤差引起的讀數誤差，其中讀數誤差是一以2π為周期的函數誤差。若以f（θ）表示此周期函數誤差，則有

　　（1）

則讀數頭4的讀數為

　�。�2）

若測量過程中按順時針方向轉動，由于讀數頭3的位置與讀數頭4相差β角，故讀數頭3的讀數同樣包含讀數誤差，只是在相位上超前了β角，則有

　�。�3）

　　在讀數信號（a_i，b_i）中，不能直接分離出被測度盤的刻劃誤差Δ_i，如果將讀數頭3的讀數減去讀數頭4的讀數，得到綜合信號d_i為

　�。�4）

經過適當處理后有

　�。�5）

綜合信號d_i消除了被測度盤的刻劃誤差Δ_i，只包含測量系統的讀數誤差。d_i也是一周期為2π的諧波函數信號，故可應用信號分析技術對d_i進行譜分析。若圓周上的讀數個數為N時，利用FT分析可分離出d_i中的前N／2階諧波誤差，即

　�。�6）

從而可得到前N／2階諧波的幅值和相位（D_k，ψ_k）。比較式（5）和式（6），可得讀數頭的讀數諧波誤差信號的幅值和相位（A_k，φ_k）與（D_k，ψ_k）的關系為

　�。�7）

則被測度盤的刻劃誤差為

　�。�8）

　　式（8）即為被測度盤的測量結果。為了有效地分離出讀數誤差中的前N／2階諧波誤差，必須合理確定讀數頭3、4之間的夾角β。β的確定原則是盡可能避免kβ／2＝jπ（k＝1，2，…，N／2，j為整數）。見式（5），當kβ／2j時，sin（kβ／2）＝0，信號d_i中將不包含第k階諧波誤差，對d_i進行FT分析時就不能分離出第k階諧波誤差信號的幅值和相位（A_k，φ_k），則在式（8）中將包含讀數誤差的第k階諧波誤差的影響，使測量結果的精度下降。例如，當N＝24時，可取β＝56°或β＝62°，但切不可取β＝60°，因為當k＝6時，kβ／2＝180°，d_i中將不含第6階諧波信號，在式（8）中只能消除1～5階和7～12階諧波誤差，殘留了第6階諧波誤差，從而影響測量結果的精度。π

　　3．數據處理流程和測量結果比對

　　依據上述原理，數據處理流程如下

　�。�1）在圓周上獲得N組測量數據（θ_i，a_i，b_i）（i＝0，1，2，…，N-1）；

　�。�2）求出綜合信號d_i＝b_i－a_i（i＝0，1，2，…，N-1）；

　�。�3）調用FT譜分析軟件，獲得綜合信號d_i中前N／2階諧波的幅值和相位（D_k，ψ_k）（k＝1，2，…，N／2）；

　�。�4）按式（7）分離出讀數諧波誤差的幅值和相位（A_k，φ_k）（k＝1，2，…，N／2）；

　�。�5）按式（8）修正讀數頭4的讀數中的前N／2階諧波誤差，得到被測度盤的刻劃誤差值Δ_i（i＝0，1，2，…，N-1）；

　�。�6）被測度盤的零起刻線誤差為_i＝Δ_i－Δ₀（i＝0，1，2，…，N-1），最大間距誤差為f＝max（Δ_i）－min（Δ_i）（i＝0，1，2，…，N-1）。

　　為驗證本文提出的圓分度測量原理分離和修正測量系統讀數諧波誤差的有效性，筆者分別進行了采用本測量原理和采用平均讀數原理的模擬測量計算，并對二者進行比較。設對一已知零起刻線誤差真值的標準度盤進行測量，給定測量系統讀數誤差的各階諧波幅值和相位（A_k，φ_k）（k＝0，1，2，…，17），對度盤圓周上均布的N＝24個測點進行測量。采用本測量原理的兩讀數頭3、4之間的夾角β＝56°。應用平均讀數原理的模擬測量采用圓周上均布5個讀數頭的讀數方式。讀數頭4、3的讀數值（a_i，b_i）、被測標準度盤零起刻線誤差真值_io以及采用兩種原理的誤差計算結果列于下表（因篇幅所限，未列出平均讀數原理5個讀數頭的讀數值）。

　　由表可知，與采用平均讀數原理的測量結果pi相比，采用本測量原理得出的測量結果_i更接近于被測度盤零起刻線誤差真值_oi，其最大間距誤差結果也更接近于被測度盤真值。由此可見，本測量原理能有效分離和修正圓分度測量系統的讀數諧波誤差，其測量精度高于均布5個讀數頭的平均讀數原理測量方法。理論上，本測量原理能消除全部前N／2＝12階諧波讀數誤差，而平均讀數原理只能消除非讀數頭個數整數倍的各階諧波讀數誤差（1、2、3、4、6、7、8、9、11、12階），而殘留了讀數頭個數整數倍的各階諧波讀數誤差（5、10階）。由于隨著諧波階數的增高（k＞15），讀數諧波誤差的幅值將減小到10^－2秒數量級，因此可認為本測量原理基本上可以完全消除讀數諧波誤差。

表　原始數據和計算結果　　　　　　　　　（單位：秒）

序號	度盤零起刻線 誤差真值oi	原始數據		度盤零起刻線誤差計算結果
		讀數頭4讀數值ai	讀數頭3讀數值bi	本測量原理i	平均讀數原理pi
0	0．00	0．00	-0．90	0．00	0．00
1	0．50	2．96	-0．92	-0．11	0．94
2	1．20	2．89	2．94	1．03	0．53
3	（-0．70）	-0．96	-0．45	（-1．19）	（-1．93）
4	1．00	-0．48	1．09	0．84	0．95
5	2．80	2．20	3．65	2．20	2．85
6	（3．60）	5．58	5．08	（3．62）	（4．08）
7	2．60	2．11	0．93	1．79	1．48
8	3．20	3．90	-0．95	3．35	2．32
9	1．80	2．69	-1．43	1．03	1．76
10	0．90	1．92	2．55	0．84	1．03
11	2．20	-0．16	0．41	1．65	2．61
12	1．60	-3．19	2．48	1．45	0．15
13	1．40	-0．02	2．77	0．87	0．87
14	2．20	3．28	2．32	1．96	2．16
15	0．80	-0．97	3．63	0．48	1．03
16	0．60	2．22	3．43	0．16	0．78
17	1．50	2．30	2．42	1．21	-0．08
18	-0．20	-0．16	-0．72	-0．53	-0．47
19	0．40	3．53	0．90	0．01	0．37
20	-0．70	1．89	-1．27	-1．00	-0．36
21	-0．50	-0．44	0．44	-0．95	-0．70
22	0．20	0．21	2．65	0．08	-1．29
23	0．80	0．77	0．62	0．11	0．68