磨削過程與磨削表面殘余應力關系的數學模型

1 磨削表面殘余應力的形成機理
塑性凸出效應的影響
        磨削時，由于磨粒切刃具有大的負前角，變形區的塑性變形非常嚴重，在磨粒刃尖前方區域將形成復雜的應力狀態。在磨粒切刃剛走過的表面部分上，沿表面方向出現塑性收縮、而在表面的垂直方向出現拉伸塑性變形——這就是塑性凸出效應，結果磨削表面出現殘余拉應力。
擠光作用的影響
         在切削加工過程中，刀具和工件之間會產生作用力。垂直于被加工表面的作用力和由此產生的摩擦力一起對被加工表面產生擠光作用。當刀刃不鋒利或切削條件惡劣時，擠光作用的影響更為明顯，擠光作用會使零件表面產生殘余壓應力。
熱應力的影響
        磨削時，磨削表面層在磨削熱的作用下產生熱膨脹，而此時基體溫度較低，磨削表面層的熱膨脹受到基體的限制而產生壓縮應力。當表面層的溫度超過材料的彈性變形所允許的溫度時，表面層的溫度下降至與基體溫度一致時，表面層產生殘余拉應力。
磨削液冷卻效應 
        磨削過程中，由于磨削液的使用，磨削表面層在冷卻過程中會產生一個降溫梯度，它與熱應力的影響剛好相反，它可減緩由熱應力造成的表面殘余拉應力。
        磨削過程中，除了上述影響殘余應力的因素外，還有表面層的二次淬火及表層的回火現象。
2 磨削表面殘余應力數學模型的建立
        通過上述分析可知，影響磨削表面殘余應力的主要因素可歸納為：磨削力、磨削溫度和磨削液的冷卻性。力和溫度是磨削過程中產生的兩種磨削現象，直接對殘余應力產生影響；而磨削液對殘余應力的影響，一方面是通過表面的降溫過程直接產生的，另一方面是通過對力和溫度的影響間接產生的。本文試圖通過對力和溫度的試驗數據，以及磨削表面二維殘余應力測試數據的數學處理，給出一種反映力、溫度和磨削液的冷卻性能與表面殘余應力關系的數學模型。數學模型中應包括上述影響磨削表面殘余應力的因素，即 s_RT=s_F+s_R+s_L
式中：s_RT——磨削表面殘余應力
s_F——磨削力的影響
s_R——磨削溫度的影響
s_L——磨削液冷卻性能的影響
1) 磨削力與殘余應力關系的數學模型
    首先依據圖1所示的模型來分析殘余應力與塑性變形之間的關系。圖1a為自由狀態下的兩個彈簧，圖1b為兩個彈簧被放入剛性板之間的狀態。根據平衡條件可得出
N=k1k2(l1-l2)/(k1+k2)
式中：N——兩個彈簧被放入剛性板后彈簧的內力
l1、l2——兩個彈簧在自由狀態下的長度
k1、k2——兩個彈簧的彈性系數 
    l1-l2可看作是本文意義上的塑性變形。從上式中可得出，內力與塑性變形呈正比，即殘余應力與塑性變形呈正比。

圖1 殘余應力與塑性變形關系模型

圖2為應力s與應變e關系的簡化模型。從圖中可知 e_B=(s_B-s_S)/E₁+e_S  e＇_A=e_B/E
式中：s_S——材料的屈服限
s_B——某一磨削條件下的應力
E——材料的彈性模量
E₁——常數 
  
圖2 應力σ與應變關系簡化模型根據圖2可得出，當外力釋放后，B點處應變e_B沿斜率OA釋放后殘留為e_p=e_B-e＇_A=(s_B-s_S)/E+e_S+s_B/上式說明，塑性變形與力呈線性關系。
綜合上述分析可以認可，殘余應力與磨削力呈線性關系，兩者關系可表示為 s_F=AF+D₁ (1) 式中：A、D1——系數
F——磨削力(可采用切向力)

2)磨削溫度與殘余應力關系的數學模型

圖3

    由熱應力產生的殘余應力可用圖3來進行分析。當磨削區溫度升高時，表面層受熱膨脹產生壓縮應力σ，該應力隨溫度升高而線性增大，其值大致為 s=a′EDq
式中：a′——線膨脹系數
E——材料的彈性模量
Dq——溫升 
    當磨削溫度繼續升高至q_A時，熱應力達到材料的屈服限，如溫度再升高(q_A→q_B),表面層將產生塑性變形，熱應力值將停留在材料不同溫度時的屈服限處。磨削完畢，表面層溫度下降，熱應力按原斜率s_B下降(沿BC曲線)，直到與基體溫度一致，這時表面產生殘余拉應力。其值為s_q=s_D-s_B    s_D=a′Eq_B
如果認為s_B與溫度呈線性關系，那么，可得到磨削溫度與殘余應力關系的數學模型為
s_q=a′Eq_B-B₀q_B+D₂=Bq+D₂
式中 B0、B、D2——系數
θ——磨削區最高溫度
3) 磨削液冷卻性能與磨削表面殘余應力關系的數學模型
    磨削區溫度越高、磨削液冷卻系數越大時，下層表面層的溫差越大，對熱應力造成的殘余應力降低的也越多。磨削液冷卻性能對表面殘余應力的影響與表面溫度有關，因此，將磨削液與磨削表面殘余應力關系的數學模型表示為 s_L=Cqa+D₃
式中 C、D3——系數
α——磨削液冷卻系數
綜合式(1)、(2)、(3)可得出磨削過程與磨削表面殘余應力關系的數學模型如下
s_RT=AF+Bq+Cqa+D
式中 A、B、C、D——反映磨削力、磨削溫度、磨削液冷卻性能影響磨削表面殘余應力的系數
3 數學模型的回歸計算及分析
1) 數學模型的回歸計算
    根據式(4)表示的殘余應力的數學模型，用最小二乘法可得出如下的正規方程組

    本文中，N=6，表1為一組實測數據的計算表(殘余應力單位是：MPa，以下同)。解正規方程組可得A=45.77 B=1.98 C=-6×10^-4 D=-1.47由此可得到擬合結果如下
s_RT=45.77F+1.98q—6×10^-4q a—1.47

表1 回歸計算表

2) 數學模型計算結果的分析 
    表2為計算結果的誤差分析表。其中s^*_i為計算值、s_i為測量值、D_i=|s^*_i-s_i|。最大的擬合誤差5.5%。

表2 誤差分析表

4 結束語
    本文提出了一種新的研究磨削表面殘余應力的方法，即用反映磨削過程的力、溫度、磨削液冷卻系數這3個綜合指標，來研究磨削表面殘余應力，并給出了數學模型。該數學模型反映了磨削表面殘余表面應力的形成機理，該方法同其它單因素研究方法相比，具有廣泛的可比性。